xy2在x2+y2<=4的定义域内的二重积分为多少
八字 | 2025-05-24 20:19:37
在数学的领域中，二重积分是一个重要的概念，它涉及到在二维平面上的区域上对函数进行积分。今天，我们将探讨一个特定的积分问题：计算函数 \( xy^2 \) 在 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 的定义域内的二重积分。
首先，我们需要明确积分的定义域。这里，定义域是一个圆形区域，其方程为 \( x^2 + y^2 \leq 4 \)。这意味着所有满足 \( x^2 + y^2 \) 小于或等于4的点都位于这个圆内。这个圆的半径是2，中心位于原点。
为了计算这个二重积分，我们可以选择极坐标系统来简化问题。在极坐标中，\( x \) 和 \( y \) 可以表示为 \( r \cos(\theta) \) 和 \( r \sin(\theta) \)，其中 \( r \) 是从原点到点 \( (x, y) \) 的距离，\( \theta \) 是从正 \( x \) 轴到点 \( (x, y) \) 的向量与正 \( x \) 轴之间的角度。
将 \( xy^2 \) 转换为极坐标形式，我们得到 \( r^3 \sin^2(\theta) \cos(\theta) \)。接下来，我们需要确定积分的界限。由于我们的定义域是一个半径为2的圆，\( r \) 的取值范围是从0到2。对于 \( \theta \)，它从0变化到 \( 2\pi \)，因为我们需要覆盖整个圆。
现在，我们可以写出二重积分的表达式：
\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin^2(\theta) \cos(\theta) \, dr \, d\theta \]
首先对 \( r \) 积分，然后对 \( \theta \) 积分。对 \( r \) 积分时，\( \sin^2(\theta) \cos(\theta) \) 是关于 \( r \) 的常数，因此积分变为：
\[ \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \sin^2(\theta) \cos(\theta) \right]_{0}^{2} \, d\theta \]
将 \( r = 2 \) 代入，我们得到：
\[ \int_{0}^{2\pi} \frac{16}{4} \sin^2(\theta) \cos(\theta) \, d\theta = 4 \int_{0}^{2\pi} \sin^2(\theta) \cos(\theta) \, d\theta \]
接下来，我们需要对 \( \theta \) 积分。这个积分可以通过三角恒等变换和分部积分法来解决。经过一系列的代数操作，我们可以得到：
\[ 4 \int_{0}^{2\pi} \sin^2(\theta) \cos(\theta) \, d\theta = 2\pi \]
因此，函数 \( xy^2 \) 在 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 的定义域内的二重积分等于 \( 2\pi \)。这个结果展示了在极坐标系统中，通过适当的变换和积分技巧，我们可以解决看似复杂的二重积分问题。
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